Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток, Россия

Аннотация. Предлагается и исследуется двухкомпонентная модель сообщества «хищник – жертва» с дискретным временем, учитывающая особенности развития и взаимодействия зоопланктона и рыб. Использование систем уравнений с дискретным временем позволяет естественным образом учитывать ритм многих процессов, протекающих в морских и пресноводных сообществах, которые подвержены циклическим колебаниям в связи с суточным и сезонным ритмом. Динамика составляющих сообщество популяций рыб и зоопланктона описывается хорошо изученной и широко используемой в популяционном моделировании моделью Рикера. Для описания взаимодействия видов используется функция Холлинга второго типа, позволяющая учитывать насыщение хищника. Проведено исследование предложенной модели. Показано, что система может иметь от одного до трех нетривиальных равновесий, обеспечивающих существование полного сообщества. Помимо седло-узловой бифуркации, порождающей бистабильность устойчивой динамики, нетривиальное равновесие может потерять устойчивость по сценарию Неймарка – Сакера с ростом репродуктивного потенциала как хищника, так и жертвы, в результате чего сообщество демонстрирует длиннопериодические колебания, схожие с динамикой, наблюдаемой в натурных экспериментах. Показано, что на фоне роста бифуркационного параметра, происходит обратная бифуркация Неймарка – Сакера, в результате которой замкнутая инвариантная кривая схлопывается, и динамика численности сообщества стабилизируется, позже теряя устойчивость через каскад бифуркаций удвоения периода. Данный сценарий рождения и исчезновения инвариантной кривой в фазовом пространстве осложняется мультистабильностью, которая связана с возникновением нерегулярной динамики на фоне потерявшей устойчивость единственной нетривиальной неподвижной точки. Показано, что рассматриваемая система при фиксированных значениях параметров модели и разных начальных условиях демонстрирует сосуществование устойчивого состояния и квазипериодических колебаний.

В целом предложенная в данной работе модель динамики сообщества с дискретным временем, несмотря на предельную простоту, демонстрирует значительное разнообразие и вариабельность динамических режимов, и отражает тот факт, что влияние факторов внешней среды может изменить тип и характер наблюдаемой динамики.

Ключевые слова: математическая модель с дискретным временем, сообщество «хищник – жертва», зоопланктон, функция отклика Холлинга II типа, динамические режимы, бифуркации.